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三、《勾股割圆记》的主要成就
《勾股割圆记》及其托名吴思孝的注是戴震最完整、篇幅最长的数学著作，清秦蕙田《五礼通考》全载其上中下三篇，乾隆三十八年（1773）曲阜孔继涵刻《算经十书》时，亦收入《策算》和《勾股割圆记》②。恩格斯曾说：“天文学只有借助于数学才能发展，因此也开始了数学的研究。”③从科学史的发展看确实如此，有趣的是，王锡阐、梅文鼎、戴震的数学研究都是为农业生产“绝对需要它”①的天文学服务，为解决天文学问题而系统研究数学的。托名吴思孝的戴震自序说：“《勾股割圆》之书三卷，余友戴君东原所撰，戴君之于经，分数大端，各究洞源委，步算其一也??今夏初，戴君以所为《勾股割圆记》示余，读其文辞，始非秦汉已后书，其于古今步算之大全，约以二千言而尽，可谓奇矣。”②可见《割圆记》的写作目的和内容都与古代天文研究有关。
数学是在世代系列的人类社会实践中逐渐累积和发展起来的，它始终体现了运动的最普遍的本质：“吸引和排斥这一古老的两极对立。”③数学研究，当然能涉及“普遍联系”的辩证关系。戴震的《勾股割圆记》比相同的数学对象的其他研究还多了一层，除了勾股定理在种种较为简单的和最为复杂的等式和不等式关系中的运用以外，还有中法表达和西法表达的相同和不同含义的处理，戴震的这一名著，十分正确、贴切地处理了这些有“普遍联系”的关系，形成了一个和谐的整体。从“普遍联系”去看全书内容，有两个大的方面，一是有关勾股弦关系的基本概念的解释，二是勾股应用割圆术。（一）基本概念的解释要点1、《记》上：“割圆之法，中其圆而觚分之，截圆周为弧背， （按：gèng 连接两端）弧背之两端曰弦，值弧与弦之半曰矢。”按：这里给弧、弦、矢下了定义。其含义为：圆内两直径相交，截成两两相等的弧，连接弧的两端就是弦，过弦作垂直平分线交于弧叫矢。如任取圆周之一弧而连接其两端成一弦，原理同。
② 《勾股割圆记》有种种版本，《五礼通考》本分上中下三篇共2417 字，有图注和托名吴思孝的补注。段玉裁经韵楼本三篇共2268 字（四部丛刊本《戴东原集》依此）。孔继涵在乾隆四十二年（1777）刊《戴氏遗书》，将《割圆记》四篇作为《原象》的五、六、七、八（《原象》的一至四为“璇玑玉衡”、“中星”、“土圭”、“五纪”，段玉裁曾谓此四篇合《割圆记》三篇，再加《迎日推策记》为《原象》，但经韵楼本又将《割圆记》三篇另列，不与《原象》四篇同卷，这与《戴氏遗书》本大不同），共2785 字（《昭代丛书续篇补》依此）。微波谢本三卷，共2735 字，为安徽丛书第六期《戴东原先生全集》所本，有吴思孝注和图注，本书对《勾股割圆记》的研究以安徽丛书本为据。
③ 《自然辩证法》人民出版社1971 年版162 页。
① 《自然辩证法》人民出版社1971 年版55 页。
② 《安徽丛书》第六期戴震《勾股割圆记》托名吴思孝序。
③ 《自然辩证法》人民出版社1971 年版55 页。
① 《安徽丛书》第六期戴震《勾股割圆记》，本节有关戴震数学资料未注出处的皆见该书。并将《勾股割圆记》简称为《记》。
2、《记》上：“弧矢之内成相等之勾股二，半弧弦为勾，减矢于圆半径，余为股。勾股之两端曰径隅，亦谓之弦，勾股之弦得圆半径也。”
按：径隅为《周髀算径》的旧名。承1，将弦的中垂线交于圆之两端，形成以圆心为顶点的两全等直角三角形，该直角三角形的弦等于圆半径，戴称之为径隅。戴震认为，此原理对求解天球黄道赤道夹角等极有用，由弧长求勾股，由勾股求弧长和矢（按：均可，因半径为定值），由弧、矢而承勾股求出整个圆面，“步算之能事毕矣”。天文推步在勾股割圆中得到说明。3、在注释本中，戴震详细介绍了圆周率的计算方法和历史。
4、《记》上：“勾股弦三矩方之，合勾与股三方适如弦之大方。”
按：戴震在注文中详细介绍了溯自《周髀算经》中的勾股定理，今之表达甚简：设勾股弦为abc，则c2=a2+b2以上由勾股割圆中的一些基本概念（名称）、定义的确定、圆周率和勾股定理的介绍，明确了戴震研究勾股割圆术的基本点。所谓“勾股割圆”实际上是指直角三角形与圆面（即过圆直径的圆内接直角三角形）的同一性关系的处理。以上基本点无疑是处理这一同一性关系的数学基础。应该说，把这种带有自然辨证哲学特点的同一性关系放到门类科学中去看，它将是十分复杂的，戴震研究的勾股术就是这种同一性在数学上的复杂的具体表现，透过数学研究，我们看到的正是著作者的科学头脑，辩证思路和逻辑方法。（二）勾股割圆术的应用要点的分析1、《记》上：“有勾有股求其弦：勾自乘、股自乘，并之开方得弦。”
按：此即用公式：c= a b 2 2 +2、即用公式：b= c a 2 2 -3、即用公式：a= c b 2 2 - 对此，戴震还看到与第二术的联系。《记》上云：“凡曰勾曰股者其名可互易，故与第二术同。”
在第三术中，戴震又说：“减矢于圆经，余为股，弦和矢恒为股弦较（凡两数相并为和，相减余为较），和、较相乘为勾之方。
按：设：圆内以圆心为顶点的直角三角形勾、股、弦为a、b、c，矢为S，半径为R，则：b＝R 一S，S（矢，又称股弦较）＝c 一b＝R 一b，（R＋b）（R 一b）＝a2 亦即a2=(c+b)(c-b)。其实，此定理还可推广成：圆内两任意直线相交，各直线被圆和交点切成的两线段之积相等。戴震其时尚未识此。在第三术中，戴震说：“减勾于圆半径，余为次弧背之矢。倍股为次弧弦。减次弧背之矢于圆径，余为勾。弦和其矢为勾弦较，和，较相乘为股之方。”
按：如图，戴震意谓为次弧背，GF 为次弧背之矢。则：①GF=OFOG=OF-CB②BE=2BG=2OC③CB=OG=OF-GF④OC2=BG·GE=GF·GH 戴震的这一勾股术，实际上将过圆心的直角三角形推广到圆内接长方形观察之。戴说甚确。4、《记》上：“有半弧弦（又名内矩分），有矢，求其圆径，半弧弦自乘，矢除之，加矢，为圆径。”
按：戴震术语中的内矩即弦，内矩分即弦之半。此处的圆径指直径而言，如图：已知a、s，求2R，则据圆内直线相交定理：a2=s(R-s+R)a2=2Rs-s2 2R=as2+s。
5、《记》上：“有矢，有圆径，求半弧弦，以矢为股弦较，于圆径减矢余为股勾和，和、较相乘，开方得勾，勾即半弧弦，倍之为全弦。”
按：用上图，设6 为直径，则据圆内直线相交定理a2s(d-s) a= sd s - 26、《记》上：“有半弧弦，有圆径，有矢。以半弧弦与圆半径相减得次弧背之矢，为勾弦较，相并为勾弦和，和较相乘，开方得股，股即次半弧弦（又名次内矩分），以减圆半径得矢”。
按：此题可按§4 图解之，已知a、d，求s，则s(d-s)=a2s2-sd+a2=0 需解一元二次方程得s，戴震当时尚未识此。戴解此题的思路是用另§3 图解得的。设：DC 为s，勾BC 为a，OB 为R，则GF=R-a，GH=R+aOC2=BG·GE=GF·GH=(R-a)(R+a) OC= ( )( ) R a R a + - OC=BG，即戴震所谓次内矩分、次半弧弦。S=R-OC=R-BG=R- ( )( ) R a R a + -十分清楚，戴震的勾股第四、五、六术联系十分紧密，如从代数学角度看，是同一代数式设不同未知数解方程。戴震是从几何学去寻觅不同联系的。第六术中戴震还说：“方圆相函之体，用截圆之周径而函勾股和、较之率，四分圆周之一如之。规方之四隅而函圆之周，凡四觚（按：gū角）如之。因方以为勾股，函圆之半周，凡三觚如之。”
按：为解释此说，戴震共画了五个图，意思是说在正方形，任意四边形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形端点画圆截弧，前两者弧之和均为360°，后两者均为180°。这实际上是把多边形与圆联系起来探讨两者的关系，结论是，任意四边形内角和总是等于一个圆，任意三角形内角和总是等于半个圆。这无疑是正确的。
此外，在第六术中，戴震还举出了勾股术在工程上的应用，如测水平、测高度、测深度、测距离等。戴震十分讲究技术应用，基础理论和技术应用之间没有鸿沟，虽然它们的前提都挂上为解经服务，但科学和技术实际上都成了独立研究的对象。
7、《记》上：“有次矩分，求矩分，以积矩为实，次矩分为法，除之得矩分。”又说：“有矩分求次矩分，以积矩为实，矩分为法，除之得次矩分。”按：这实际上是戴震把长方形和圆联系起来考察，视长方形为圆内接长方形，矩分为边长，积矩为矩分和次矩分之积，实际上是长方形面积，“实”为被除数，“法”为除数。戴说甚明。戴震明确指出：“右即广袤互求之法”。“广”即宽度，“袤”即长度。
8、仍是工程测量问题，所谓“有矩分（边长）求径引数（工程测量中垂线随处所指引起大于圆半径的伸长部分）”。此外，戴震还讨论了圆内接正六边形边长等于圆半径，圆内接正十边形边长为：以该圆半径为股，该圆半径之半为勾，求其弦，然后得弦与勾之差即为正十边形边长。戴氏甚确。9、实际上是将两相似直角三角形作比较，用比例法解勾股问题，以解决工程测量中的求远处高度之类的问题（本来可以直接用三角函数，如H＝Csina，戴震化为勾股比例问题，原理同，但稍烦，戴震表彰中法，故有此算法）。《记》上：“凡勾股弦大小大互求，必得其三，则可以知其四，以原有之两矩定其率，今有之一矩，合而权之，异乘同除，得所求之一矩。”按：此话甚费解，试设两直角三角形相似，勾股弦分别为A、B、C 和a、b、c①戴云：“小股与大勾相乘，小勾除之，得大股。”解：如图则（式中小股与大勾相乘，戴谓之“异乘”，大勾与小勾相除，戴谓之“同除”，以下同此类推之。）
②戴云：“小勾与大股相乘，小股除之，得大勾”。解：如图：③戴云：“大股与小勾相乘，大勾除之，得小股”。解：如图：④戴云：“大勾与小股相乘，大股除之，得小勾”。解：如图：⑤戴云：“小弦与大勾相乘，小勾除之，得大勾”。解：如图：⑥戴云：“小勾与大弦相乘，小弦除之，得大勾”。解：如图：⑦戴云：“大弦与小勾相乘，大勾除之，得小弦”。解：如图：⑧戴云：“大勾与小弦相乘，大弦除之，得小勾”。解：如图：</PGN0213.TXT/PGN>⑨戴云：“小弦与大股相乘，小股除之，得大弦”。解：如图：⑩戴云：“小股与大弦相乘，小弦除之，得大股”。解：如图：戴云：“大弦与小股相乘，大股除之，得小弦”。解：如图：戴云：“大0 股与小弦相乘，大弦除之，得小股”。解：如图：针对以上十二种情形，戴震认为：“割圆之法，尽于勾股互权”。它的实际用途仍在工程测量上，戴震举了“隔水测崖高”说明之。
10、除重申§6 介绍的第六术以外，以勾股法讲述三角函数的求解，戴震注指出：他所说的“矩分”指正切，“内矩分”指正弦，“径引数”指正割，“次矩分”指余切，“次内矩分”指余弦，“次引数”指“余割”。例如，戴震说：“有次内矩分，有内矩分，求矩分：以圆半径乘内矩分，内矩分除之，得矩分。”
按：先按戴震的中法解之，参用§3 的图。已知：BG，BC 则矩分tg∠BOC=R BCBG·这就是戴震关于矩分的值，因通常割圆时以半径作为单位长度看待，故tg∠BOC=BCBG=BCOC若以戴震注明西学术语解之，则戴震的说法可写作：tga＝R aa·sincos，通常以半径为单位长度，则tga＝sincosaa，甚确。至于戴震第二术中讲述的余切、正割、余割、正弦、余弦的求解法，情况类此。本条完全可以看出戴震中西互为表里的学术思想。值得重视。
11、勾股第十一术实际上是讲半角公式，《记》上：“求分弧内矩分及次内矩分：以矢与圆半径相乘，半之，开方，得分弧之内矩分。以内矩分与分弧之内矩分相乘，矢除之，得分弧之次内矩分。”
按：分弧指的一半，设DC 为S，半径BO 为R，∠BOD 为a，按题意为求解BE（分弧内矩分）的长度。亦即Rsina2号戴震的结论是：BE＝SR2今按半角公式证之：sina2=12- cos a在直角△BOC 中cosa=OCR=R SR-故sina2=12-- R SR =SR 2BE=RSR 2=RS2又：求解分弧的次内矩分，即求分弧的余弦OE，戴震公式为OE=BC BEs×（式中BC 为原弧内矩分），BE 为分弧内矩分，因直角△BCE 与直角△OEB 相似，BEDC=BOBD=OEBC即BES=RBD=OEBC故OE=BC BEs×证讫。
12、第十二术实际上是倍角公式。但表达全用中法勾股木。《记》上：“求倍弧内矩分及次内矩分，以内矩分与次内矩分相乘，倍之为实，（即内矩分乘倍次内矩分之数），径隅除之，得倍弧内矩分。若内矩分自乘倍之为实（即内矩分乘倍内矩分之数），径隅除之得倍弧之矢，减矢于圆半径，得倍弧之次内矩分。
按：据戴震术语，内矩分为正弦，次内矩分为余弦，设∠BOC 为a，则∠BOE=2a，据题求BE 和OE，显指求2a 的正弦值和余弦值。据戴震说法：公式当为：BE=2BC OCR·（式中R 表示径隅，亦即半径，直角三角形中的弦）
OE=R-2 2 BCR。现证明如下：直角△ BAE～直角△ BOC，故BDBA=BCAE=OCBEBE=BA OCBO·=2BC OCR·证讫一式。AE=BC BABO·=BC BCBO·2=2 2 BCROE=OA-AE=R-2 2 BCR证讫二式。戴震用中法来理解倍角的正弦和余弦是完全正确的。
13、第十三术戴震叙述了两角和的正弦公式。两角差的正弦公式、两角和余弦公式、两角差余弦公式。《记》上：“有大小两弧求其和弧、较弧内矩分及次内矩分，以大弧两矩分与小弧次内矩分相乘，径隅除之，得和弧、较弧内矩分之半和；以大弧次内矩分与小弧内矩分相乘，径隅除之，得和弧、较弧内矩分之半较。加半较于半和为和弧内矩分；减半较于半和，为较弧内矩分。”按：设大弧对应的角为α，小弧的角为β，则两弧之和或两角之和为α＋β。由术语内矩分正弧，次内矩分为余弧。由勾股值，戴震上述表达可写作：Rsin(α＋β)=R RRsin cos α· β+R RRcos sin α· β=R(sinαcosβ+cosαsinβ)故sin(α＋β)=sinαcosβ+cosαsinβ.所谓较弧即指两角之差。戴震上述表达的另一部分可写作Rsin(α-β)=R RRsin cos α· β-R RRcos sin α· β=R(sinαcosβ-cosαsinβ)故sin(α-β)= sinαcosβ-cosαsinβ最后的等式表明，戴震表达的“两角和之内矩分”与两角和的次内矩分”、“两角差的次内矩分”与现代数学中的cos(α+β)、cos(α-β)的等值式公内容完全一致。戴震的中法说明完全合乎西法。
戴震在此第十三术中，还举例说明两角和与两角差的正弦、余弦值的广泛使用。在戴震看来，源于实用的勾股，其原理不管多么复杂，当即还之实用，这是贯穿全书的数学应用思想。值得注意的是，戴震还讲了勾股割圆的历史发展，讲述了梅文鼎和薛凤祚成就和不足。戴震认为，古代割圆法之深入的论述（如本节十二术己是较深的割圆术）“书缺失传”，元时授时历有“弧矢割圆图”，但仅讲了“共半弧背之勾股，小大互求”。这无疑是勾股割圆的基础，可由此推广到一切复杂的使用，但很可惜，没有深入下去。戴震对这一基本原理十分重视，他认为：“实足以尽割圆之理，凡小大可互求者未有非共半弧背者也。”数学史的发展至于彼之晚近，戴震说：近人殚精此学，如梅定九、薛仪甫诸家兼通西洋之说，有八线表、平三角、弧三角等法，虽别立名目，于古之勾股弧矢不异。惜译书时欲张其说，凡一语可该，必衍为千百言，多其端绪，使观之者目眩而莫测其涯涘，又讳言立法之本出于勾股弧矢，转谓勾股不能御三角，三角不能御勾股。以梅氏考论之，详于平三角举要，论三角形用正弦，为比例之理，凡为图者十，而不能知其为“共半弧背之勾股”，其他大抵类此。
在戴震看来，梅文鼎并没有将西学的平面三角和中学的勾股割圆很好地结合起来，对此他很不满意。诚然，这里有些误会②。但戴震中西结合的学术思想是明确的。在具体表述上，科学的选择还是选择了西学的三角函数式。最根本的原因还是使用方便，尤其在进一步的深层连锁推理中，简明灵便的三角函数式较为优越，戴震的割圆术成了科学史研究的对象，但正象使用莱布尼兹微积分并不否定牛顿的奇勋那样，戴震的勾股术与三角学相比较，同样正确，有同等的功效，有同样的应用价值，只是没有形成系统配套的代数式构成的计算体系，仅限于这一点，或许可以说，戴震割圆术较之三角学还缺少点儿什么：那就是爱因斯坦所说的逻辑的简单性和数学的简单性原则。
14、实际上是讲正弦定理，戴震以西名注之云：“今名两角夹一边求余角余边，所知两角不夹所知之一边术同。”《记》上云：“有正弧及对正觚之距，有对所有一距之觚规限（按：度数），求其距：以对所求一距之觚规限内矩分乘对正觚之距，正弧内矩分除之，得所求之距。”
按：设圆内接三角形ABC 三边长为a、b、c，据戴震题意，已知即∠A，a， ∠B，求b 的长度。戴震的解法是：sinsinB aA·=b，可改写成：aA sin=bB sin，故谓戴勾股十四术是正弦定理。
15、仍为正弦定理。戴以西名注之曰：“今名两边一角，角有所对之边，求余角余边。”《记》上：“有正弧及对正觚之距，有对所求一觚之距，求其弧规限；以对所求一觚之距乘正弧内矩分，对正觎之距除之，得所求之觚规限内矩分（此即前术转而用之）。”
按：用上图，据题意，已知即∠A，a，b，求∠B。戴震的解法是：b Aasin=sinB，可改写成bB sin=aA sin，故谓戴勾股十五术仍为正弦定理。
① 《勾股割圆记》，见《安徽丛书》第六期《戴东原先生全集》② 梅氏《平三角举要》自序中说：“新历之妙，全在弧三角，然必先知平三角而后可以论弧三角，犹之必先知勾股而后可以论平三角也。乃举要义次为五卷。”梅氏《平三角举要》是我国数学家自著三角学。16、第十六术，戴以西名注之曰：“今名两边夹一角求余角余边，用梅氏切线分外角法。”此题并不复杂①。困难的是对戴震的中法解释加以证明。《记》上：“和两距一觚规限，所知之两距旁于所知之觚，其觚曰本觚，规限曰本觚（按：疑当为‘弧’字）。减本弧于圆半周，余为所求两觚规限之和（吴曰今名外角），半之为两弧之半和。以所知两距之较，乘两弧之半和矩分，两距之和除之，得两弧之半较矩分。以半和半较相加，得对大距之觚规限。若相减则得对小距之觚限。既知三觚两距，则如前第十四术得对本觚之距。”
按：如图，已经a，b，C，求c 即AB 的长度，∠A、∠B。今解法可用“两边夹一角求第三边”的公式（见前页注释）求出c，然后用十四术讨论的正弦定理求∠A、∠B。按戴震的说法，“两距之较”指b-a，“两弧之半和矩分” 即tgB C +2， “ 两弧之半较矩分” 即tgB C -2。由截说： 则( ) b a tgB Ab a-++2 = tgB A -2，（b-a）tgB A +2=（b+a）tgB A +2经笔者用三角函数正切半角公式证明①，此式是成立的，故戴说是正确的。至于求∠B 和∠A，戴说：“以半和（按：指B A +2）半较（按：指B A -2）相加，得对大距之觚规限（按：即∠B 的值），若相减得对小距之觚规限（按：即∠A 的值）。”即∠B=B A +2+B A -2，A=B A +2-B A -2从而求得∠B 和∠A，戴震这一解法是同义反复，由未知求未知，不可能得∠A 和∠B 的，因而是错误的。故戴震紧接着求∠B 和∠A 所说的：“既知三觚两距，则如前第十四术（按：正弦定理）得对本觚之距，”也就无法落实。正确的解法，显见应是首先利用已知a、b和∠C，用解斜三角形余弦定理法求得AB 即C，然后用正弦定理得A、B 两角。在《勾股割图术》中卷，戴震将天体视运动轨道黄道、赤道及其交角、经度、纬度问题化作球面勾股弦问题，即西法的球面三角。中卷的割圆术全部是解球面直角三角形，经用解球面三角形公式验证，戴震球面勾股弦解法完全正确。例《记》中十八术，戴云：有经度，有经弧，求纬度：以经度欢矩分乘经弧矩分，圆半径除之，得纬度次内矩分。按题意，设球面直角三角形ABC，弧为a、b、c，角A、B、C，C 为直角，已知经度A，经弧a，求解纬度B 的余弦。戴震的结论是cosB=ctgA tgaR·① 已知△ABC 中，边长a,b,夹角C，求边长c,则c2=a2+b2-2abcosC证明：在球面直角三角形ABC 中，cosB=tga ·ctgc ctgc=ctgARcosB=tga·ctgAR=ctgA tgaR·</PGN0221.TXT/PGN>《勾股割圆记》下卷全部是球面斜三角形的勾股弦解法，经验证，全部合乎球面斜三角形的三角函数解法。例如第四十五术，是球面三角的正弦定理，戴云：以对正觚之距内矩分，乘对所求一距之觚内矩分，正觚内矩分除之，得所求之距内矩分。此外，球面的勾股解法中由两弧夹一角求对弧，两角夹一弧求对边，由三角求三弧，由三弧求三角，验之球面三角公式，无一不是正确的。
戴震的《勾股割圆记》，以特有的方式系统推演了平面三角形和球面三角形的勾股原理，大大发展了自《周髀》以来的勾股弦求法，戴震的传统勾股学以其个人的努力达到了同时代的平面三角和球面三角函数学的水平，是一了不起的奇迹。明清之际，我国传统的研究因西学的传入而趋于中断，戴震崛起于日趋衰落的中法数学之坛，把传统数学的研究推向一个新的或许是最后一个高峰，这是数学史上弘扬民族文化的盛事。戴震之所以能如此，与他继承传统数学，视《九章算术》、《海岛算经》等为可贵，又努力吸收西学，力求洋为中用有密切关系，二者舍其一都不可能达到勾股学的高峰。四、戴震天文研究中的科学哲学问题戴震在对天体视运动作广泛研究的基础上，反思了一个带普遍性的问题：客观存在的实体、运动、运动规律问的关系。从天体的客观存在到天体的运动，戴震所作的视运动的描述已可看出他最基本的立足点：天体是实在的客体，这一客体处于不断的运动之中。这一观点，从他对研究天文的目的看法也可看出，他认为，习天文的目的是适应农业生产的需要。他说：“古者小民咸识天象，仰瞻星汉，用知时节而趣耕作。《夏小正》、《月令》诸书示农事女工弗怠缓也。”①自然物的客观存在，以及客观存在的运动，二者决不可分割，这是唯物主义者从事自然研究的一个基本立足点，戴震从事天体视运动研究本身表明，他相信：宏观宇宙的实体的客观存在与实体的自身的运动是不可分割的，虽然戴震描述的仅仅是天体运动的投影即天体的视运动，但这视运动研究已足以表明：实体的自身的运动是客观存在着的。
其次是运动和运动规律的关系问题。对这一问题的普遍的一般的抽象成为世界观的内容的组成部分，在门类科学中，对这一问题的反思显然是科学哲学的一项重要内容。戴震对此的回答是：“日月星运行有常。”②这就是说，日月星辰有属于它自身的一般运行规律。正因为如此，戴震探讨了许多有关天体视运动的规律及其应用，特别是岁差这一法则。一部《续天文略》，自始至终讲天体视运动及其法则，且岁差问题几乎无处不在。有关戴震对视运动规则的列举和探讨，前面已谈得很多，值得注意的是，戴震还反思了对运动及其规则的量度问题。恩格斯曾说过，运动当从它的反面静止来量度，“平衡是和运动分不开的”①，“运动表现于它的反面”②。对天体视运动的量度问题，戴震在反思视运动和运动规则的关系的基础上，认为量度天体视运动是人类自身就客观对象作出的主观设定，他说：天本无度，步算家设度以推测日月星之行，古法三百六十五度四分度之一（古岁实三百六十五日四分日之一，略举大致耳，盖随宜修改，不与天争时）。每昼夜日右旋一度，度也者，行而过之之名，今用三百六十整度，则每昼夜日行不及一度，虽失名度之义，算器无妨用之。此拟《周髀》制矩，故用古刻法为度法，得名度者日左旋一刻所度也。要说明天体视运动状况，当然得量度，从量的方面说明之，而量度的度的本身是人类自身设定的，“天本无度，步算家设度以推测日月之行”，戴震举了自古以来对岁实的一些量度说明之，这一问题的提出和反思，是近乎本体问题的思索的。正如数学是世代系列的人类客观实践的产物一样，度尽管是人类自身主观设定的，它的设定仍然是有客观标准的，它无疑也是客观和主观相统一的人类实践的产物。作为哲学家和科学家的戴震，不免能接触到和把握这类问题，他既指出“天本无度”，又指出对天体的测度有客观存在的物体、对象、公认的计数法为客观参照物，他说：① 《戴震集》，上海古籍出版社1980 年版127 页。
② 同上。
① 恩格斯《自然辩证法》，人民出版社1971 年版224 页。
② 恩格斯《反杜林论》，人民出版社1970 年版59 页。
③ 《勾股割圆记》下，载《安徽丛书》第六期《戴东原先生全集》。
《洪范》五纪，一日岁，二日月，三日日，四日星辰，五日历数。分至（按：春分、秋分、夏至、冬至）启闭，纪于岁者也。朔望胐霸（按：fěi pò新月生明），纪于月者也。永短昏听，纪于日者也。列星见伏昏旦中，日月躔造，纪于星辰者也。盈缩经纬，终始相差，纪于历数者也。纪于岁者，察之日行发敛。纪于月者，察之日月之会，交道表里。纪于日者，察之昼夜刻漏，出入里差。纪于星辰者，察之十有二次，暨星与黄、赤道相值。纪于历数者，察之圭槷（按：测日影的圭表）。随时测验，积微成著，修正而不失。引文中的“纪”有“以某某为准绳进行测度，量度”之意，这段文字，恰恰是体现运动和量度间的关系的文字，我国古代丰富的辩证思想本来就是渗透到自然科学中的，戴震对运动量度问题的探讨与他对古代辩证法的继承是分不开的。
戴震在研究古天文时，对岁差的阐述及其应用是最主要的成就。戴震研究了岁差的发现过程，认为岁差是祖冲之发现并精确测定的①，在《续天文略》中则进一步认为是晋虞喜发现的，他说：“晋虞喜云，尧时冬至，日短星昂，今二千七百余年，乃东壁中，则知每岁渐差之所至，后代言岁差始此。”对岁差产生的原因，戴震仅从视运动给予解释，没有触及地绕日公转中日月对地球的引力摄动这一实质，他说：岁差者以日星相较，而差非天行有差也，天之有南北极，为左旋之枢，以定南北。天之有赤道，为左旋之中带，以界南北，而黄极为右旋之枢，距北极二十余度，黄道为右旋之中带，斜交于赤道，半在赤道南，半在赤道北，最远距赤道亦二十余度，与黄极距北极相应，日循黄道，右旋而成岁，冬至最南，夏至最北，相距四十余度，自南敛北，其下值中土所居，渐近则寒退而暑进，自北发南，其下值中土所居，渐远则暑退而寒进，日之右旋发敛于四十余度之间，于黄道适周，本无纤雏差数，使发敛未终则无以成岁矣。
戴震认为，天行本无差，但要是没有岁差，日循黄道，一年之数三百六十五日亦难以成为一年，有了岁差，才成为一年，这真是有了岁差之“差”，一年之岁才幸得圆满。自然界的辩证性质昭然若揭，除岁差成因外，还探讨了岁差时日月星辰的运动都有效，这一见解是前无古人的，是戴震对岁差运动普遍性的深刻揭示。在思想方法上，如果说把整个天体视运动看作一个巨大的逻辑系统，那么戴震则把岁差贯穿于这一逻辑系统内的每一项子系统内，从而使任何一个需要在此大系统或子系统内解决的天体视运动问题都离不开岁差。由于这一处理的现实基础是岁差对日月星辰运动普遍有效，置于逻辑系统内任何一个思辨对象问题经由岁差间题而解决就具有现实的可靠性，岁差成了戴震在解决天体视运动诸多问题的思想方法上的逻辑契机和手段。现代科学证明，岁差对天体运动的影响是普遍的，对诸行星都有影响，由此可证，戴震在其深层的思想方法上对岁差的地位的设定是正确的。最令人信服的是，戴震曾在《书补传》、《记夏小正星象》中以岁差推定《尚书·尧典》“日中星鸟以殷仲春”、“日永星火以正仲夏”、“宵中星虚以殷仲秋”、“日短星昂以正仲冬”这四仲中星，与《夏小正》所载星象大致符合，而与《春秋》时期所测不同，从而用岁差之理证明了《尧典》四仲中星系唐虞时实测。这一推定为学术界所公认。今人竺可桢著有《论以岁差定尚书尧典四① 《原象·五纪》，载《戴震集》，上海古籍出版社1980 年版112 页至113 页。① 见黄汝成辑《袖海楼杂著》戴震《古今岁实考》。燕京大学图书馆1940 年影印本。② 《续天文略》，载《安徽丛书》第六期《戴东原先生全集》。
仲中星之年代》，更加详密。然戴震是最早研究这一难题的人，且获得了极大的成功①。
由于岁差是地球绕日运动因日月的引力引起的进动，承认岁差，事实上就意味着应当承认地球绕日公转，但这可能仍是不自觉的。戴震就是这样，在自觉意识的方面，他事实上仍然坚持地心说的。这从以下几个方面可以看出：其一，戴震是从《周髀》出发研究天体运动的。《周髀》力主盖天说，认为天象是一个斗笠，地象覆着的盘，天圆地方，天在上，地在下，日月星辰随天盖而运动，其东升西没是由于远近的关系，不是没入地下。戴震的基本立足点仍是盖天说，但作了很大的修改。他在《原象》等文章中就已明确他说出地圆说：步算家测北极暨月食，得地体周九万里。环地之周，戴天曰上，履地曰下。南行二百余里而北极下一度，北行二百余里而北极高一度。
惟论南北影差以地为平远，复以平远测天，诚为臆说。
无论是盖天说本身，还是修正了的地圆说，仍是地球中心说，既然地是圆的，人在地面上何以不感到倾斜？那是由于大气的关系，地球悬于气中，这正是北宋张载“地在气中”的元气本体论和浑天说的发展③，所以戴震也吸收了浑天说的，在戴震看来，地球是圆的，为气所复盖，要测知地球上的种种情形，只有借助于视运动。他说：“地之广轮，随其方所，皆可假天度测之矣。”①其二，戴震是信从第谷天文学说的。借本轮，均轮之说注释天体视运动种种情形，是信从第谷的表现。第谷仍是持地心说的人。
丹麦天文学家第谷（1546—1601）十分崇敬哥白尼，赞扬日心体系是“美丽的几何结构”，并说：“我承认，只须假说地球运动，五个行星的运行便很容易加以解释。”但第谷始终没有接受日心地动说，他于1582 年提出了一个折衷方案，行星绕太阳运行，太阳又统率着行星绕地球运行，太阳连同整个恒星天穹又一起围绕地球作昼日旋转。明崇祯二年（1629 年）徐光启请罗雅谷、汤若望等参与编撰的《崇祯历书》就是以第谷体系和计算方法为标准的，并说：“从来西洋言术大家，托勒密以后，第谷一人而已。”历书中有一专门介绍第谷体系的著作《五纬历指》，文中画有两幅图，一幅是托勒密体系的“七政序次古图”，一幅是第谷体系的“七政序次新图”。文中说：① 除竺先生外，法国人卑奥根据马融以前对《尧典》四仲中星的解释，推断出那是公元前2577 年的二分二至的所在点，从而证明《尧典》中的四仲中星确实是尧时的天文记录。这一研究结论与戴震也是一致的。见高鲁《星象统笺》，1933 年天文研究所刊印本。《尧典》的四句话试译如下：“昼夜平分的春分，南方朱雀七宿中的第四星中星‘星’宿黄昏时出现在南天正中，正是夏历二月。昼长夜短的夏至，心宿二大火黄昏出现在南天正中，正是夏历五月。昼夜平分的秋分，北方玄武七宿中的第四星中星‘虚’宿黄昏时出现在南天正中，正是夏历八月。昼短夜长的冬至，西方白虎七宿中的第四星中星‘昂’宿出现在南天正中，正是夏历十一月。”
① 《原象·土圭》，载《戴震集》，上海古籍出版社198D 年版112 页。② 《四库全书总日》”周髀算经”条，中华书局1965 年影印本891 页。③ 张载说见《正蒙·参两篇》。
① 《原象·土圭》，载《戴震集》，上海古籍出版社1980 年版112 页。“《古图》中心为诸天及地球之心。第一小圈内函容地球，水附焉，次气、次火、是为四之行，月圈以上，各有本名。各星本天（按：指本轮。天，轮。下同）中，又有不同心圈，有小轮??《新图》则地球居中，其心为日、月、恒星三天之心。又日为心，作两小圈为金星、水星两天；又一大圈，稍截太阳本天之圈，为火星天，其外又作两大圈，为木星之天，土星之天。”第谷体系中的行星绕日旋转，而日、行星、天幕又绕地旋转的二元论宇宙体系，和我传统天文学日、月、星辰视运动理论极为相象，这是第谷学说在我国得到广泛传播并产生深远影响的原因。戴震信从第谷，是以地心说为基础的。戴震在世时，哥白尼（1473—1543）学说刚刚传入中国，其时戴震还不知道哥白尼学说，但钱大昕是知道的，钱曾从一个侧面提醒戴震说：“江（永）欲以地谷所用之数，上考干载以前，谓必无消长也，有是理乎？本轮均轮本是假象，今已置之不用，而别创椭圆之率，椭圆亦假象也，但使躔离交食推算与测验相准，则言大小轮可，言椭圆亦可，然立法至今未及百年，而其根已不可用，近据如此，远考可知，而江氏取其已弃之筌蹄，为终古之权度，其迂阔亦甚矣。”①这里说的椭圆之率，实际上是指哥白尼日心说的地球公转轨道。江永将第谷学说移置于我国古代天文的视运动研究，不失为一种尝试，钱大听对江永的认识确有偏颇之处。但他说西方对第谷学说已“不用”，说它只是假象，是的确之论。不过又说“椭圆亦假象”，这是错误的。至于说到“躔离交食推算与测验相准，则言大小轮可，言椭圆亦可”，那是以视运动作历法推算，第谷学说也好，日心说也好，都没有太大的直接关系。遗憾的是，钱大昕的告诫没有引起戴震的重视。
钱大昕曾参加过《坤舆全图》的修订，并定名为《地球图说》的书出版②。该书原是法国传教士蒋友仁（1715—1774）向乾隆帝进献的世界地图，图四周配以天文图和有关说明文字。这些文字说明批判了托勒玫体系。文中说：“多禄亩（按：即托勒玫）??此论不足以明七政运行之诸理，今人无从之者。”并说第谷的理论虽有可取之处，但不如哥白尼的正确。书中讲到行星和卫星运动时说：“哥白尼，置太阳于宇宙中心，太阳最近者水星，次金星，次地，次火星，次木星、次土星，太阴（按：月亮）之本轮绕地球，土星旁有五小星绕之，木星旁有四小星绕之，各有本轮，绕本星而行，距斯诸轮最远者，乃为恒星天，常静不动。”在讲到日心说和通常用于天体测量和定历法的黄道视运动的关系时说：“哥白尼论春夏秋冬四季之轮流，亦由地运动而生，子卯午酉椭圆，象地球二年所循之本轮，斯轮相应于浑天之黄道，地两极之轴，斜行于黄道之轴，而地赤道斜行于本轮，各二十三度半，是为黄赤距纬。”①书中还讲到开普勒、牛顿等天文学家都信从哥白尼说，书中还列举三点理由解释地球绕日公转学说的可靠性。该书曾由钱大听的学生李锐（1768—1817）按文意补绘了两幅地图和十九幅天文图附在书后。后来因书中第一、第二图毁佚不见，由戴震的自然科学和哲学传人阮元再补作诸图，著为《地球图说补图》，时在嘉庆四年（1799），其时戴已下世二十二年。《地球图说》及其补图问世后，哥白尼的日心说开始在我国渐渐广为传播。作为一代学术巨擘，没有对哥白尼学说予以足够重视，不能不说是一件① 《潜堂文集》卷三十二《与戴东原书》。
② 阮亨辑《文选楼丛书》、《丛书集成初编》均收录此书。
① 见《丛书集成初编》1334 号《地球图说》7 页、11 页。
憾事。日心说和地心说的分野，是宇宙现范围内的事，对天文观测，特别是对我国重在制订历法的传统天文历算的研究，影响不大。正如李约瑟所说：“地心说和日心说在数学上意义是完全等同的，不论静止不动的是地球还是太阳，距离和角度总是一样，要求解的三角形也一样??中国人在那稣会传教士入华若干世纪以前，已经自己制订了很好的历法，根本不曾用过什么太阳系的几何模型。所谓历法不过是用来尽可能细致地调和观测到的天地周期，预测其循环往复，并把常用的时间单位（月、日等）调整到最恰当的一种方法罢了。”①戴震引用本轮、均轮之说，不能说是成功，只能说是形而上学的搬用。
引用这一学说，也是深受其老师江永的影响。江永的《推步法解》已引用第谷学说，他的数学著作也引用西学。先于江永的王锡阐和梅文鼎都是引用第谷的。王锡阐1640 年的《五星行度解》载有解释第谷太阳系学说的几何图形，他还在第谷学说的基础上推导出一组计算行星的公式，准确度较前人为高②。梅文鼎的《历象考成》同样引用第谷，认为五星有三小轮，月有次均轮，还另有负圈，七政有小轮，小轮之动由本轮之动引起，七政之动由小轮之动引起③。
从前面的叙述中可以看出，一方面，戴震持地心说，引用第谷本轮均轮之说是有缺憾的，另一方面，戴震作为乾嘉学派的徽帜，一直在摸索洋为中用的路子。尤为可贵的是，王锡阐，梅文鼎处在西学东渐的高潮时期，而戴震处在低潮时期仍在孜孜不倦地摸索。
在学理逻辑上，只要是对真理的追求，东学和西学应该是一致的。戴震以中学为论证对象之体，西学为说明、注释之用，以中学为主，西学为附，为弘扬国学传统，吸收外来文化摸索了一条过分稳妥而尚趋于保守的路子，但不失为一种尝试。它的实际价值当然要受文化发展史的检验的，乾嘉学派的实证性方法和由此取得的成果，与戴震对待西学的态度是有关系的，乾嘉朴学方法的本身并没有排斥西学，而是包含着若干较有限的西学方法的因子，戴震对待西学的态度同样是影响整整一代人的。就具体内容而言，戴震接触到的西学总的说落后于西学实际。那时，西方的数学已进入微积分时代，戴震还着重于西方的传统数学如欧氏几何等，西方的天文学已进入哥白尼学说大昌，从而导致开普勒定律发现，牛顿天体运动定律发现的时代，戴震尚重在第谷学说，这与当时的社会经济、政治、文化发展状况都有一定关系，但总的说，戴震想吸收西方的科学技术，但又大大落后于西学发展的实际状况了。戴震吸收西方文化的诸做法中，还有一个很引人注目的论点，就是“西方文化东往”说。本书举到的戴震在《策算》中论及西历袭自中历之说是一代表性说法（见第一章四），同时代的王鸣盛在《蛾术篇》中也有类似的看法，王说：“大西洋欧罗巴国历法本子祖冲之，盖因辽人大石林牙至天方国（按：阿拉伯）传其术，因而转入大西洋。”①应该指出的是，戴震引用西学，也不仅仅是本轮、均轮之说。所举证的岁实（太阳年）“凡三百六十五日小余不及四分日之一”，月朔“凡二十九① 李约瑟《中国科学技术史》科学出版社1978 年版，第4 卷，《天学》第二分册666 至668 页。② 参见郑文光席泽宗《中国历史上的宇宙理论》168 页。
③ 见《四库全书总目》中华书局1965 年影印本902 页上。
① 王鸣盛《蛾术篇》卷七十二《仪象考略》。
日小余过日之半”，这两个数字，极可能参用清初汤若望等人改编的《时宪历》（即《甲子元历》）和康熙二十三年（1684 年）编订的《历象考成》上译载的第谷数值，或是用乾隆年间重修的《时宪历》（即《癸卯元历》）上译载的牛顿改定的岁实①，后者事实上从乾隆七年一直用到清代灭亡，先后用了一百七十年。
作为天文研究的内在逻辑，戴震关于日循黄道周年视运动的右旋说使他获得了巨大成功。天文学史上有过右旋和左旋之争，虽然两者都有偏颇，但右旋之说更接近实际。左旋说只看到日月的周日视运动，而右旋说则主张太阳的周年视运动才是真正的循黄道的运动，因而右旋说在制订历法，预告日、月食等方面有较大的实用价值。宋代以前，一直是右旋说占优势的，到了宋代，朱熹首先站出来拥护左旋说，他说：“问天道左旋，日月星辰右旋？曰：自疏家有此说，人皆守定。某看天上日，月、星不曾右旋，只是随天转。天行健，这个物事，极是转得速。且如今日，日与月、星都在这度上，明月旋一转，天却过了一度，日迟便欠了一度，月又迟些又欠了十三度，如岁星须一转争了三十度。”②朱熹的左旋说事实上脱离了天文观测的实际，但影响较大，从朱熹到乾嘉年间，都不断发生所谓“历家”与“儒家”之争，甚至连梅文鼎这样的大家也受朱熹的影响，在星极坐标中折中左右旋说。作为自然科学家的戴震，从表面上看，也是主左右旋说的，但实际上更接近于同时代的天文学家王锡阐、王贞仪等人的右旋说立场。戴震认为，“各为经纬，是以知日、月星皆右旋，右旋者，发敛之轨也”。并认为，唯右旋能识岁差。他说：“察星极以知右旋，”又说，使用星仪“设其枢以象星极“方可”以知岁差”。③这是戴震的右旋说。戴震也提到左旋，那是因“日循黄道右旋”说明四季变化为优而对说明昼夜变化有一定困难，故补充以“左旋”。其实，这正是以黄道视运动说明天体运动本身有所不足，犹如江永、戴震曾借第谷本轮、均轮那样，“右旋”以外又借“左旋”以补之。后来写的《续天文略》对“右旋说”与“左旋说”说得更明确，更可看出戴震是主右旋说的。戴震说：“古九重天之说，以列宿与日、月、五星皆右旋，而南北推移，加大气左旋为九也。左旋之天一，右旋之天八??惟列宿与日月五星皆右转，人见其东出西没者，乃大气运之而左。”①戴震提到的“左旋”是指大气“左旋”，而日月星辰之本体皆右旋，这与朱熹、梅文鼎星极坐标上的“左旋说”或“左右旋说”有所不同，在星极坐标上戴震完全是主“右旋说”的。“右旋说”不仅较为精确他说明了天象的视运动，为制订历法提供了较可靠的依据（历法是按季变化制定的，与昼夜变化关系不大），而且是对宋、明以来理学家们不顾天象事实的“左旋说”的一个批判。戴震对宋儒这一自然观的批判，为他后来全面批判宋儒奠定了自然哲学的基础。
作为有哲学头脑的自然科学家，戴震从天文研究本身看到了天文研究中的相关情形，这使他的研究视野更为广阔，瞩目于天文研究的视角也更为深邃。他说：① 第谷的岁实365.24218350 日，朔策为29.53059300 日，牛顿的岁实：365.24233442 日，朔策为29.53059333日。
② 《朱子全书·天度》，见《四部备要》本《朱子全书》。
③ 《迎日推策记》，见《戴震全集》一，清华大学出版社264 页。
① 《续天文略》卷上，《星见伏昏旦中》，见《安徽丛书》第六期《戴东原先生全集》。日之发敛以赤道为中，月之出入以黄道为中，此天所以有寒暑进退，成生物之功也。凡地之方所，近日下，盛阳下行，故暑；日远侧照则气寒。寒暑之候，因地而殊。中土值内衡之下以北，其外衡之下以南，寒暑与中土互易。中衡之下，两暑而无寒，暑渐退如春秋分乃复。南北极下，凝阴常寒矣。
天体运动形成了寒暑变化，全球各地寒暑变化不一，可按视运动轨道相应的地理位置具体说明之，寒暑变化的最重要的作用促成了万物生长。这等于是说，天体运动是生命运动的基础。这一关于客观存在的宏观领域内的运动转化的观点，较之戴震亦曾阐述过的天文研究为农业指点时节，并以绝妄语礼祥，破除迷信②，则有更深刻的唯物主义的理论意义。它使门类科学中堪称科学哲学的天体运动经由若干中介条件向生命运动转化的运动观，与堪称科学的世界观的一般唯物主义运动转化论密切关联起来。
在戴震的唯物主义自然观中，“气”具有极重要的地位，一切都是靠气的支持，联结、转化。岁差之所对日月星辰的运动都能发生作用，是因为“气”③，人站在地球上不感到倾斜，也是因为“气”，地球之所以不坠落，也是因为“气”：“六合皆天，则六合皆上，地在中心，则中心为下，以气固而内行，故终古不坠??推原其故，唯‘大气举之’一言足以蔽之。”④乃至万物的化生都是“气”的作用，因“气化”而产生多种物种。戴震无所不包的气论是个朴素辩证法的系统。
① 《原象·璇玑玉衡》，见《戴震集》，上海古籍出版社1980 年版109 页。② 见《续天文略序》，载《戴震集》上海古籍出版社1980 年127 页。
③ 见《续天文略》卷中，载《安徽丛书》第六期《戴东原先生全集》。
④ 同上。
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